えんじにあのじゆうちょう

勉強したことを中心にアウトプットしていきます。

点推定

はじめに

点推定は読んで字の如し、標本を利用して母集団のある1点を推定するものです。
勉強した結果を少しまとめます。

解説

点推定

点推定は母集団の持つ特徴的な量である母数 \thetaを標本を利用して推定値 \hat{\theta}を求めて、それを母数として扱おうというものです。
わかりやすい例でいえば、標本の平均を求めてその平均値を母平均として利用することです。
これは、以前の記事で書いたとおり、大数の法則、中心極限定理により表現されています。

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サンプリング

ただし、一概になんでも標本から求めた値を母数として扱えるかというと、そういうことはありません。
「一致性」と「不偏性」を満たす推定値のみ、母数として扱えます。

一致性

一致性はサンプル数を極限まで大きくすると、推定値 \hat{\theta}は母数 \thetaに近づくという性質のことを言います。

不偏性

不編性は偏ってないことを担保します。特にサンプル数によらず、得られる推定値 \hat{\theta}の期待値 E(\hat{\theta}) \thetaであることを表現します。

例: 標本平均

標本平均は一致性、不偏性を満たすため、標本平均 \bar{x}は母平均 \muとして扱えます。
これは、大数の法則、中心極限定理により表現されています。

例: 分散

標本から求められる標本分散 \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N} \sum {(x-\bar{x})^2}は一致推定量ですが、不偏推定量ではないです。
そのため、標本分散ではなく、不偏分散を用いる必要があります。

不偏推定量は次の式で与えられます。

 \hat{s}^2 = \frac{1}{N-1} \sum {(x-\bar{x})^2}

ただし、これの平方根をとった s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum {(x-\bar{x})^2}}は不偏推定量にならないことに注意してください。

まとめ

点推定を行うときは、推定したいパラメータが「一致性」「不偏性」を持つという条件を満たすことを慎重に確認し推定する必要があります。
私はまだ詳しくないので、当面は「大数の法則」「中心極限定理」を適用できるもの、もしくは、不偏分散など大丈夫と明らかなものを使っていくようにしようと思います。