えんじにあのじゆうちょう

勉強したことを中心にアウトプットしていきます。

母平均の区間推定: 母集団の分布が正規分布で母分散が既知のとき

はじめに

いつ読んでもよくわからなかった、区間推定を勉強し直しましたのでまとめます。

説明

問題設定

一般にあまりないと言われている

  • 母集団の分布が正規分布だとわかっていて、母平均の95%信頼区間を求めたい
  • 母分散\sigma^2はわかっている

という状態でどう考えていくのかをまとめます。

その前に信頼区間

信頼区間は、その値がその区間内に入る確率がどの程度かを示す指標です。
例えば、95%信頼区間が 0 \leq \mu \leq 10であれば、\muは区間[0, 10]内に95%の確率で入っていると言う意味です。
逆に言うと、5%は外すことを考慮した数値ということです。

標本平均を求めて標準化する

標本平均は \bar{x} = \frac{1}{N} \sum x_iで求められます。
そして、計算しやすいように標本平均を標準化し、平均0、標準偏差1の標準正規分布に変換します。
変換は z = \frac {\bar{x} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{N}}}で計算できます。
このときパラメータとなるのは母平均である \muのみです。

標準正規分布の95%

つまり、変換した zの値が標準正規分布の95%の面積に包含されるように、 \muの取りうる範囲を決めれば良いです。
標準正規分布のどれだけの部分の面積を取れば全体の95%となるかは正規分布の表から見つけるのですが、以下のようになります。

 -1.96 \leq z \leq 1.96

絵で書くとこんな感じです。
f:id:marufeuillex:20191013234900p:plain

それではこれを \muについて解くと以下のようになります。

 \bar{x} - 1.96 \sqrt{\frac{\sigma^2}{N}} \leq \mu \leq \bar{x} + 1.96 \sqrt{\frac{\sigma^2}{N}}

これで、この範囲に \muが95%の確率で存在する、という推定ができました。

まとめ

母分散が既知の正規分布母集団に対する母平均の推定についてまとめました。
要は標本平均を計算しやすい標準正規分布の値に変換(標準化)し、その値が95%の面積に包含されるように \muの範囲を求めることで母平均の区間平均ができました。

次回は母分散が未知の場合についてまとめようと思います。